7+ Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Lớp 8 “Quan Trọng”

Các hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức quan trọng được bắt đầu từ năm lớp 8 kiến thức này sẽ theo chúng ta suốt con đường học tập môn toán và ứng dụng sau này nên kiến thức này cực kỳ quan trọng các bạn phảp ghi nhớ. 

Trong bài viết hôm nay chúng ta cùng Gia sư Điểm 10 tìm hiểu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ nhé?

1. Công thức hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức đáng nhớ
Hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức đáng nhớ

Hằng đẳng thức đáng nhớ

Hẳng đẳng thức đáng nhớ
Hẳng đẳng thức đáng nhớ

>>Xem thêm: Cách giải phương trình bậc nhất chi tiết. 

2. Hệ quả hằng đẳng thức đáng nhớ

Tổng hai bình phương a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

Tổng hai lập phương a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Bình phương của tổng 3 số hạng (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

Lập phương của tổng 3 số hạng (a + b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2bc − 2ca (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ca

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3

a³ + b³ = ( a + b )³ – 3ab( a + b) a³ – b³ = ( a – b )³ + 3ab( a – b ) ( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3( a + b )( a + c )( b + c ) a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a + b + c )( a² + b² + c² – ab – bc – ac ) ( a – b )³  + ( b – c )³ + ( c – a )³ = 3( a – b )( b – c )( c – a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) – 8abc = a( b – c )² + b( c – a )² + c( a – b )² ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) – abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 − an-2b + an-3b2 − an-4b3 + …. + a2bn-3 − a.bn-2 + bn-1) (1) với n là số lẻ thuộc tập N an − bn = (a − b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + an-4b3 + …. + a2bn-3 + a.bn-2 + bn-1)

>>Xem thêm: Công thức tính diện tích tam giác đầy đủ. 

3. Một số bài tập hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 1= (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)[(a – b)+ ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]

= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a+ b3

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2

= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Chúc các em thành công!

Bài viết liên quan