Các hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức quan trọng được học trong môn Toán lớp 8. Kiến thức này sẽ theo chúng ta suốt con đường học tập môn toán và ứng dụng sau này nên kiến thức này cực kỳ quan trọng các bạn phải ghi nhớ. Trong bài viết hôm nay chúng ta cùng Gia sư Điểm 10 tìm hiểu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ nhé?
Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Phát biểu: Bình phương của 1 tổng sẽ bằng bình phương của số thứ nhất cộng với 2 lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai và cộng với bình phương của số thứ hai.
2. Bình phương của một hiệu
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Phát biểu: Bình phương của 1 hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi 2 lần tích của số thứ nhất và số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.
3. Hiệu hai bình phương
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Phát biểu: Hiệu hai bình phương của hai số sẽ bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.
4. Lập phương của một tổng
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Phát biểu: Lập phương của 1 tổng hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất cộng với 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với 3 lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương số thứ hai.
5. Lập phương của một hiệu
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Phát biểu: Lập phương của 1 hiệu hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất trừ đi 3 lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với 3 lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai sau đó trừ đi lập phương số thứ hai.
6. Tổng hai lập phương
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Phát biểu: Tổng của hai lập phương hai số sẽ bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.
7. Hiệu hai lập phương
a3 – b3 = (a – b)(a2 – ab + b2) = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 + 3ab(a – b)
Phát biểu: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.
Xem thêm: Cách giải phương trình bậc nhất chi tiết.
Hệ quả của hằng đẳng thức đáng nhớ
Tổng hai bình phương: a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
Tổng hai lập phương: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Bình phương của tổng 3 số hạng: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
Lập phương của tổng 3 số hạng: (a + b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2:
- (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
- (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2bc − 2ca
- (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ca
Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3:
- a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab( a + b) a³ – b³ = ( a – b)³ + 3ab( a – b)
- ( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c )(b + c)
- a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a + b + c)( a² + b² + c² – ab – bc – ac)
- (a – b)³ + (b – c)³ + (c – a)³ = 3(a – b)(b – c)(c – a)(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)² + b(c – a)² + c( a – b )²
- (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc
Hằng đẳng thức dạng tổng quát:
an + bn = (a + b)(an-1 − an-2b + an-3b2 − an-4b3 + …. + a2bn-3 − a.bn-2 + bn-1) (1)
với n là số lẻ thuộc tập N
an − bn = (a − b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + an-4b3 + …. + a2bn-3 + a.bn-2 + bn-1)
Xem thêm: Công thức tính diện tích tam giác đầy đủ.
Bài tập vận dụng về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Câu 1: Tính:
a, (x + 2y)2
b, (x – 3y)(x + 3y)
c, (5 – x)2
Lời giải:
a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2
b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2
c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2
Câu 2: Tính:
a, (x – 1)2
b, (3 – y)2
c, (x – 1/2)2
Lời giải:
a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1
b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2
c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4
Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:
a, x2 + 6x + 9
b, x2 + x + 1/4
c,2xy2 + x2y4 + 1
Lời giải:
a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2
b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2
c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2
Câu 4: Rút gọn biểu thức:
a, (x + y)2 + (x – y)2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
Lời giải:
a, (x + y)2 + (x – y)2
= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2
= 2x2 + 2y2
b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2
= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2
c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)
= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2
= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2
Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.
Lời giải:
Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)
Ta có: a2 = (5k + 4)2
= 25k2 + 40k + 16
= 25k2 + 40k + 15 + 1
= 5(5k2 + 8k +3) +1
Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5
Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.
Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:
a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13
b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101
c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97
Lời giải:
a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)
b, Thay x = 87, y = 13, ta được:
x2 – y2 = (x + y)(x – y)
= (87 + 13)(87 – 13)
= 100.74 = 7400
c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27
= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33
= (x + 3)3
Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000
Câu 7: Chứng minh rằng:
a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3
b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3
c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2
Lời giải:
a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]
= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3
Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.
c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2
= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)
= (a2 + b2)(c2 + d2)
Trên đây là công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và bài tập vận dụng. Mong rằng qua bài viết này sẽ giúp các em nắm vững các hằng đẳng thức, từ đó vận dụng hiệu quả vào quá trình học tập.
Chúc các em thành công!
