ADVERTISEMENT
  • Trang chủ
  • Tin Tức
  • Học Tập
    • Học Tập Môn Hóa
    • Học Tập Môn Toán
  • Câu hỏi trắc nghiệm
    • Trắc nghiệm sinh học
  • Hỏi Đáp
  • Về Chúng Tôi
  • Liên hệ
Gia Sư Điểm 10
  • Trang chủ
  • Tin Tức
  • Học Tập
    • Học Tập Môn Hóa
    • Học Tập Môn Toán
  • Câu hỏi trắc nghiệm
    • Trắc nghiệm sinh học
  • Hỏi Đáp
  • Về Chúng Tôi
  • Liên hệ
Thứ Ba, Tháng 6 24, 2025
  • Trang chủ
  • Tin Tức
  • Học Tập
    • Học Tập Môn Hóa
    • Học Tập Môn Toán
  • Câu hỏi trắc nghiệm
    • Trắc nghiệm sinh học
  • Hỏi Đáp
  • Về Chúng Tôi
  • Liên hệ
No Result
View All Result
Gia Sư Điểm 10
No Result
View All Result
ADVERTISEMENT

7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Bài Tập Vận Dụng

admin by admin
11 Tháng 9, 2023
in Học Tập Môn Toán
0
0
SHARES
1.1k
VIEWS
Share on FacebookShare on Twitter

Các hằng đẳng thức đáng nhớ là kiến thức quan trọng được học trong môn Toán lớp 8.  Kiến thức này sẽ theo chúng ta suốt con đường học tập môn toán và ứng dụng sau này nên kiến thức này cực kỳ quan trọng các bạn phải ghi nhớ. Trong bài viết hôm nay chúng ta cùng Gia sư Điểm 10 tìm hiểu 7 hằng đẳng thức đáng nhớ nhé?

7 hằng đẳng thức đáng nhớ
7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Phát biểu: Bình phương của 1 tổng sẽ bằng bình phương của số thứ nhất cộng với 2 lần tích của số thứ nhất nhân với số thứ hai và cộng với bình phương của số thứ hai.

2. Bình phương của một hiệu

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Phát biểu: Bình phương của 1 hiệu sẽ bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi 2 lần tích của số thứ nhất và số thứ hai sau đó cộng bình phương với số thứ hai.

3. Hiệu hai bình phương

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

Phát biểu: Hiệu hai bình phương của hai số sẽ bằng tổng hai số đó nhân với hiệu hai số đó.

4. Lập phương của một tổng

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Phát biểu: Lập phương của 1 tổng hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất cộng với 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với 3 lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, cộng với lập phương số thứ hai.

5. Lập phương của một hiệu

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Phát biểu: Lập phương của 1 hiệu hai số sẽ bằng lập phương của số thứ nhất trừ  đi 3 lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với 3 lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai sau đó trừ đi lập phương số thứ hai.

6. Tổng hai lập phương

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Phát biểu: Tổng của hai lập phương hai số sẽ bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu hai số đó.

7. Hiệu hai lập phương

a3 – b3 = (a – b)(a2 – ab + b2) = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 + 3ab(a – b)

Phát biểu: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng của hai số đó.

Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

 

 

Xem thêm: Cách giải phương trình bậc nhất chi tiết. 

Hệ quả của hằng đẳng thức đáng nhớ

Tổng hai bình phương: a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

Tổng hai lập phương: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Bình phương của tổng 3 số hạng: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

Lập phương của tổng 3 số hạng: (a + b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 2:

  • (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
  • (a − b − c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab + 2bc − 2ca
  • (a + b − c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ca

Hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm bậc 3:

  • a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab( a + b) a³ – b³ = ( a – b)³ + 3ab( a – b)
  • ( a + b + c )³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c )(b + c)
  • a³ + b³ + c³ – 3abc = ( a + b + c)( a² + b² + c² – ab – bc – ac)
  • (a – b)³  + (b – c)³ + (c – a)³ = 3(a – b)(b – c)(c – a)(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)² + b(c – a)² + c( a – b )²
  • (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Hằng đẳng thức dạng tổng quát:

an + bn = (a + b)(an-1 − an-2b + an-3b2 − an-4b3 + …. + a2bn-3 − a.bn-2 + bn-1) (1)

với n là số lẻ thuộc tập N

an − bn = (a − b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + an-4b3 + …. + a2bn-3 + a.bn-2 + bn-1)

Xem thêm: Công thức tính diện tích tam giác đầy đủ. 

Bài tập vận dụng về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= [(x + y) + (x – y)]2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= [(x – y + z) + (y – z)]2 = x2

Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Advertisement. Scroll to continue reading.

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia cho 5 dư 1.

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 và y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, Thay x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab] = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (a + b)[(a – b)2 + ab] = (a + b)[a2 – 2ab + b2 + ab]

= (a + b)(a2 – 2ab + b2) = a3 + b3

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c, Ta có: (ac + bd)2 + (ad – bc)2

= a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 – 2abcd + b2c2

= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = c2(a2 + b2) + d2(a2 + b2)

= (a2 + b2)(c2 + d2)

Trên đây là công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và bài tập vận dụng. Mong rằng qua bài viết này sẽ giúp các em nắm vững các hằng đẳng thức, từ đó vận dụng hiệu quả vào quá trình học tập.

Chúc các em thành công!

ADVERTISEMENT
Previous Post

Bảng Công Thức Tính Nguyên Hàm Đầy Đủ Chi Tiết [New 2022]

Next Post

Tóm Tắt 49+ Công thức hàm số lượng giác lớp 9 “Chi Tiết 2022”

admin

admin

TIN LIÊN QUAN

4 mũ 5 bằng mấy?
Học Tập Môn Toán

4 mũ 5 bằng bao nhiêu? Cách tính 4 mũ 5

4 mũ 4 bằng mấy?
Học Tập Môn Toán

4 mũ 4 bằng bao nhiêu? Cách tính 4 mũ 4

4 mũ 3 bằng mấy?
Học Tập Môn Toán

4 mũ 3 bằng bao nhiêu? Cách tính 4 mũ 3

4 mũ 2 bằng mấy?
Học Tập Môn Toán

4 mũ 2 bằng bao nhiêu?

10+2x=4 mũ 5: 4 mũ 3
Học Tập Môn Toán

Tìm x biết: 10+2x=4 mũ 5: 4 mũ 3

3 mũ 6 bằng mấy?
Học Tập Môn Toán

3 mũ 6 bằng bao nhiêu?

Next Post

Tóm Tắt 49+ Công thức hàm số lượng giác lớp 9 "Chi Tiết 2022"

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

  • Trending
  • Comments
  • Latest

19+ Đề Tài Thuyết Trình Được Quan Tâm Hiện Nay

Công thức lũy thừa

Công Thức Lũy Thừa Lớp 6: Lý Thuyết Và Bài Tập

Sai sót hay sai xót? 

Sai sót hay sai xót? Từ nào mới là đúng chính tả

Tổng hơp 19+ Công Thức Logarit Cơ Bản Toán 12

Tổng hợp câu hỏi test IQ trẻ 6 tuổi

15+ Câu Hỏi Test IQ Cho Trẻ 6 Tuổi Miễn Phí & Đáp Án Chuẩn Nhất

1
Gia sư tại nhà

Gia Sư Luyện Dạy Môn Toán Lớp 6 Tại Nhà TPHCM 1️⃣

0

Ý Nghĩa Học Tập Là Gì? 9+ Phương Pháp Học Tập Hiệu Quả

0
Gia sư dạy kèm

Gia Sư Dạy Kèm Toán Chất Lượng Giáo Viên TPHCM ✔️

0
Đọc và hiểu rõ đề bài

Vietguru hướng dẫn cách viết một bài essay bằng tiếng Anh hay

NO3 hóa trị mấy? 

NO3 hóa trị mấy? Quá trình hình thành NO3 và bài tập vận dụng

Nghiên cứu khoa học y khoa sẽ giúp các bác sĩ hiểu rõ hơn về bệnh lý

Tri Thức Cộng Đồng tư vấn đề tài nghiên cứu khoa học y khoa

Dịch vụ Luận văn thạc sĩ ngành du lịch

Luận Văn 1080 chuyên làm luận văn thạc sĩ ngành du lịch

Recent News

Đọc và hiểu rõ đề bài

Vietguru hướng dẫn cách viết một bài essay bằng tiếng Anh hay

NO3 hóa trị mấy? 

NO3 hóa trị mấy? Quá trình hình thành NO3 và bài tập vận dụng

Nghiên cứu khoa học y khoa sẽ giúp các bác sĩ hiểu rõ hơn về bệnh lý

Tri Thức Cộng Đồng tư vấn đề tài nghiên cứu khoa học y khoa

Dịch vụ Luận văn thạc sĩ ngành du lịch

Luận Văn 1080 chuyên làm luận văn thạc sĩ ngành du lịch

Gia Sư Điểm 10

“Gia sư là người thầy của học sinh, là người bạn với phụ huynh”. Gia sư điểm 10 càng ngày nhận được sự tín tưởng của quý phụ huynh và uy tín từ phía gia sư.

MẠNG XÃ HỘI

HỌC TẬP

  • All
  • Học Tập
NO3 hóa trị mấy? 
Học Tập Môn Hóa

NO3 hóa trị mấy? Quá trình hình thành NO3 và bài tập vận dụng

by admin
0

NO3 hóa trị mấy? Đây là một trong những thắc mắc được khá nhiều bạn quan tâm. Để giải đáp...

Read more

TIN MỚI NHẤT

Đọc và hiểu rõ đề bài

Vietguru hướng dẫn cách viết một bài essay bằng tiếng Anh hay

NO3 hóa trị mấy? 

NO3 hóa trị mấy? Quá trình hình thành NO3 và bài tập vận dụng

Nghiên cứu khoa học y khoa sẽ giúp các bác sĩ hiểu rõ hơn về bệnh lý

Tri Thức Cộng Đồng tư vấn đề tài nghiên cứu khoa học y khoa

Dịch vụ Luận văn thạc sĩ ngành du lịch

Luận Văn 1080 chuyên làm luận văn thạc sĩ ngành du lịch

Con kiến có bao nhiêu chân?

Con kiến có mấy chân? Chọn đáp án đúng

  • Trang chủ
  • Tin Tức
  • Học Tập
  • Câu hỏi trắc nghiệm
  • Hỏi Đáp
  • Về Chúng Tôi
  • Liên hệ

© 2023 Gia sư 10 điểm - Bản quyền bởi Gia sư 10 điểm.

No Result
View All Result
  • Trang chủ
  • Tin Tức
  • Học Tập
    • Học Tập Môn Hóa
    • Học Tập Môn Toán
  • Câu hỏi trắc nghiệm
    • Trắc nghiệm sinh học
  • Hỏi Đáp
  • Về Chúng Tôi
  • Liên hệ

© 2023 Gia sư 10 điểm - Bản quyền bởi Gia sư 10 điểm.