Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Tính chất ra sao? Các bài tập áp dụng như thế nào? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu thông qua nội dung dưới đây của bài viết để có được câu trả lời?
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trong hình học lớp 9 được biết đến là một trong những kiến thức vô cùng quan trọng. Thế nên đòi hỏi các bạn cần phải nắm kỹ khái niệm, kiến thức và những bài tập xoay quanh.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác được biết là một đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Đồng thời tam đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ chính là giao điểm của 3 đường trung trực tại tam giác đó.
Ta có ví dụ:
Đường trung trực của AB sẽ là đường thẳng đi qua trung điểm F của đoạn thẳng AB và đồng thời vuông góc với đoạn thẳng AB. Mọi điểm I thuộc trung trực của đoạn thẳng AB đều sẽ bằng nhau IA = IB.
Ta có thể thấy rằng 3 đường trung trực của ΔABC thì đều sẽ đồng quy tại 1 điểm. Ta sẽ gọi I là giao điểm của 3 đường trung trực trong ΔABC.
Ta sẽ có được đoạn IA = IB = IC. Vì vậy I sẽ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ bao gồm những tính chất quan trọng như sau:
- Mỗi 1 tam giác sẽ đều chỉ có 1 đường tròn ngoại tiếp duy nhất.
- Tâm đường tròn ngoại tiếp của 1 tam giác sẽ chính là giao điểm giữa 3 đường trung trực của tam giác đó.
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông sẽ chính là trung điểm của cạnh huyền.
- Tâm đường tròn có chưng đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn nội tiếp tam giác đều.
Vậy để có thể xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì phải xác định bằng cách nào? Hãy cùng chúng tôi tiếp tục tìm hiểu nội dung dưới đây.
Các cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Để có thể xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì các bạn có thể áp dụng các cách sau đây:
Cách 1: Viết phương trình đường trung trực của 2 cạnh bất kỳ trong tam giác. Sau đó tìm giao điểm của 2 đường trung trực, đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cách 2: Ta gọi điểm I có tọa độ (x;y) là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Như vậy, IA = IB = IC = R. Sau đó ta sẽ tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Tọa độ tâm I sẽ chính là nghiệm của phương trình IA2 = IB2 và IA2 = IC2 . Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC cân tại A nằm trên đường cao AH.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông sẽ chính là trung điểm của cạnh huyền theo tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều sẽ là trọng tâm của tam giác.
Bài tập áp dụng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Để có thể củng cố các kiến thức liên quan tới tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì chỉ có cách là chúng ta sẽ đi vào giải các bài tập liên quan. Dưới đây là một số bài tập mà bạn có thể tham khảo:
Bài tập 1: ΔABC cân tại A, với đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.
Lời giải:
Ta gọi I là trung điểm của cạnh AH.
Theo giả thiết HF ⊥ AF ⇒ ΔAFH vuông tại F.
I là trung điểm của cạnh huyền AH ⇒ IA = IF = IH (1).
The giả thuyết ta có HE ⊥ AE ⇒ ΔAEH vuông tại E.
Điểm I là trung điểm của cạnh huyền AH ⇒ IA = IE = IH (2)
Từ (1) và (2) ⇒ IA = IF = IH = IE
Hay điểm I cách đều 4 đỉnh A, E, H và F. Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn có tâm I sẽ chính là trung điểm của cạnh AH
Bài tập 2: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Q là trung điểm của MP. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔMNP bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Áp dụng định lý Pytago ta có: PQ = ½ MP
Nên MQ = QN = QP = 5cm.
Ta gọi D là trung điểm của MP vì ΔMNP ⊥ tại N có NQ là đường trung tuyến tương ứng với cạnh huyền MP nên Q sẽ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Suy ra, đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là trung điểm Q của cạnh huyền MP và bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔMNP là R = MQ = 5cm.
Bài tập 3: Tam giác ABC đều với các cạnh là 12cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi Q và I lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB và AQ giao với CI tại O.
Vì tam giác đều ABC nên theo tính chất tam giác đều thì đường trung tuyến đồng thời sẽ là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác. Vậy ) sẽ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
ΔABC có CI là đường trung tuyến nên CI cũng sẽ chính là đường cao.
Áp dụng định lý Pytago ta có:
CI² = AC² – AI² = 122 – 62 = 108 (cm).
=> CI = 6√3cm.
Vì O là trọng tâm ΔABC nên CO = ⅔ CI = 2/3 x 6√3 = 4√3 (cm).
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Tính chất và các bài tập áp dụng đã được chúng tôi giới thiệu đến bạn. Hy vọng, với những thông tin trên sẽ giúp ích cho bạn trong học tập. Mọi thắc mắc hãy để lại cho chúng tôi dưới phần bình luận.
