Đường trung trực là một khái niệm quen thuộc và quan trọng trong môn Toán học lớp 7. Trong nội dung này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về đường trung trực, các tính chất và những bài tập về đường trung trực.
Đường trung trực là gì?
Đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Như vậy, đường thẳng d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì cần phải thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện:
- Đường thẳng a đi qua trung điểm M của đoạn AB
- Đường thẳng a vuông góc với đoạn thẳng AB
Nếu một trong 2 điều kiện nêu trên không thỏa mãn thì không thể gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cách vẽ đường trung trực
Để vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB cho trước ta thực hiện như sau:
Bước 1. Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB
Bước 2. Kẻ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại điểm M
Thực hiện xong ta được đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
Tính chất đường trung trực
Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng
Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta có các tính chất sau:
Định lý 1: Tất cả các điểm nằm trên đường trung trực d đều cách đều 2 điểm A và B.
Ví dụ: Điểm M nằm trên đường trung trực d của AB thì ta có: MA = MB
Định lý 2: Tất cả các điểm cách đều A và B đều nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
Ví dụ: Ta có: MA = MB thì M nằm trên đường trung trực d của AB.
Như vậy: Tập hợp các điểm cách đều 2 mút của đoạn thẳng chính là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Tính chất đường trung trực trong tam giác thường
Gọi O là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC.
Khi đó ta có: OA = OB = OC. Hay O được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
Tính chất đường trung trực trong tam giác cân
Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. Đường trung trực ứng với cạnh đáy sẽ chia tam giác cân thành 2 phần bằng nhau.
Tính chất đường trung trực trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông, giao điểm của 3 đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.
Ví dụ: Tam giác ABC vuông tại B. Khi đó, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.
Lưu ý: Trong tam giác, 2 đường trung trực sẽ cắt nhau tại 1 điểm. Khi đó, để xác định giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác thì bạn chỉ cần vẽ 2 trong 3 đường trung trực đó.
Các dạng bài tập về đường trung trực
Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng
Để giải dạng bài toán này, bạn cần dựa theo định nghĩa của đường trung trực của đoạn thẳng. Nó thỏa mãn 2 yếu tố là đi qua trung điểm và vuông góc với đường thẳng.
Dạng 2: Chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau
Để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau thì bạn áp dụng định lý 1 của tính chất đường trung trực của đoạn thẳng: Điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều 2 mút của đoạn thẳng đó.
Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất
Phương pháp để giải dạng toán về giá trị nhỏ nhất là sử dụng tính chất đường trung trực để thay độ dài một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó hoặc sử dụng bất đẳng thức trong tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất (tổng hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại, hiệu hai cạnh bất kỳ nhỏ hơn cạnh còn lại).
Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Áp dụng tính chất của đường trung trực trong tam giác để giải bài toán này. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là giao điểm của 3 đường trung trực.
Dạng 5: Bài toán về đường trung trực trong tam giác cân
Phương pháp để giải dạng toán đường trung trực đối với tam giác cân là dựa vào tính chất: Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này.
Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Bài giải:
ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của BC.
ΔDBC cân tại D ⇒ DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của BC
ΔEBC cân tại E ⇒ EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực của BC
Vậy A, D, E cùng thuộc đường trung trực của BC nên kết luận A, D, E thẳng hàng
Dạng 6: Bài toán đường trung trực trong tam giác vuông
Sử dụng tính chất của đường trung trực trong tam giác vuông để giải dạng bài toán này. Trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Tính khoảng cách từ E đến ba đỉnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Vì E là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên ta có: EA = EB = EC
Mà tam giác ABC vuông tại B nên E là trung điểm của AC
Theo định lý Pytago vào tam giác ABC ta được:
AC2 = AB2 + BC2 = 62 + 82 = 100
=> AC = 10 cm
=> EA = EB = EC = AC/2 = 5 cm
Bài tập vận dụng về đường trung trực
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt BC lần lượt tại D và E. Chứng minh △ABD và △AEC là tam giác cân.
Bài giải:
Ta có: DM là đường trung trực của cạnh AB nên DA = DB
⇒△ADB cân tại D.
EN là đường trung trực của cạnh AC nên EA = EC
⇒△AEC cân tại E.
Bài 2: Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong ΔABC. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Điểm cách đều ba cạnh của ΔABC
B. Điểm cách đều ba đỉnh của ΔABC
C. Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
D. Đáp án B và C đúng
Đáp án D
Bài 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?
A. Tam giác vuông
B. Tam giác cân
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân
Đáp án B
Giả sử ΔABC có AM là đường phân giác đồng thời là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh ΔABC là tam giác cân.
AM là trung trực của ΔABC (giả thiết) ⇒ BM = MC (tính chất trung tuyến)
AM là trung trực của BC ⇒ AM ⊥ BC
Xét hai tam giác vuông ΔABM và ΔACM có:
BM = CM
Góc AMB = góc AMC = 90 độ
AM chung
⇒ ΔABM = ΔACM ⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng) ⇒ ΔABC cân tại A
Bài 4: Cho tam giác ABC có AC > AB và tia phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh: AD ⊥ BE.
Bài giải:
Nối BE và ED.
Xét ΔADB và ΔADE có:
AD cạnh chung
Góc BAD = góc EAD (AD là tia phân giác góc BAC)
AB = AE (giả thiết)
⇒ ΔADB = ΔADE (c-g-c)
⇒ DB = DE
Lại có: AB = AE (giả thiết)
Do đó AD là đường trung trực của BE hay AD ⊥ BE.
Trên đây là khái niệm đường trung trực, tính chất và bài tập vận dụng. Mong rằng, qua bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về đường trung trực và vận dụng tốt trong quá trình học tập và thi cử.
