Khi bắt đầu vào chương trình học toán lớp 6 chúng ta có nhiều kiến thức mới mẻ. Trong đó số nguyên tố là những khái niệm quan trọng đi theo ta trong suốt chương trình học. Trong bài viết chúng ta cùng nắm rõ kiến thức căn bản về số nguyên tố những khái niệm cũng như bài tập cần thiết để áp dụng chính xác nhé.
1. Số nguyên tố là gì?
Số nguyên tố số chỉ chia hết cho 2 số 1 và chính nó. Có thể hiểu một cách đơn giản, với một số tự nhiên lớn hơn 1, nếu ngoài chữ số 1 và bản thân chính số đó thì nó không chia hết cho số nào khác nữa. Ví dụ các số: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29,…đều được gọi là số nguyên tố.
Đặc biệt, có 2 trường hợp không được xét là nguyên tố đó chính là số 0 và số 1. Số 2 chỉ chia hết cho 1 và 2 nên 2 là số nguyên tố. Số 3 cũng chia hết cho 1 và 3 nên 3 là số nguyên tốt. Những chú ý về số nguyên tố:
Những lưu ý về số nguyên tố
- Số nguyên tố nhỏ nhất và có 1 chữ số là số 2
- Số nguyên tố nhỏ nhất có 2 chữ số là số 11
- Số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số là số 101
- Số nguyên tố lớn nhất có 2 chữ số là số 97
- Số nguyên tố lớn nhất có 3 chữ số là 997
>>Xem thêm: Cách tính ước chung lớn nhất nhanh chóng.
2. Các tính chất đặc trưng của số nguyên tố
Một số tính chất cơ bản của số nguyên tốt để các em áp dung bài tập nhanh hơn:
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất.
Số nguyên tố là vô hạn. Số lượng phần tử trong tập hơn số nguyên tố là không giới hạn.
Khi hai số nguyên tố nhân với nhau thì tích của chúng không thể là một số chính phương.
Ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên được coi là số nguyên tố.
Ước bé nhất là một số dương khác 1 của một tập hợp số b bất kỳ là một số nguyên tố nếu không vượt quá căn bậc hai của b.
>>Xem thêm: Giá trị tuyệt đối đi suốt quá trình toán học. Các dạng bài tập và kiến thức.
3. Một số định nghĩa khác về số nguyên tố
Hai số a và b là 2 số nguyên tố cùng nhau khi chúng có ước chung lớn nhất là 1.
Ví dụ: Cho hai số là 7 và 8. Hỏi hai số đó có phải số nguyên tố cùng nhau hay không?
Lời giải:
– Ta có: 5 = 1 x 5; 9 = 1 x 3×3
– Nhận thấy ước chung lớn nhất của 5 và 9 là 1. Như vậy có thể kết luận hai số 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Tương tự có các ví dụ tiếp theo:
– 2 và 7 được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước số chung lớn nhất là 1.
– 3 và 5 có ước số chung lớn nhất là 1 nên chúng là 2 số nguyên tố cùng nhau.
– 11 và 28 cũng là hai số nguyên tố cùng nhau bởi chúng có ước số chung lớn nhất là 1.
– Hai số 6 và 27 không phải là hai số nguyên tố cùng nhau do ước số chung lớn nhất của chúng là 3, khác 1.
>>Xem thêm: Kiến thức tia phân giác một trong những kiến thức hình học cơ bản.
4. Một số bài tập số nguyên tố
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các số sau đây là hợp số:
a) 27+311+513+717+1119
b) 1+2123+23124+25125
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: 27+311+513+717+1119
Theo quy ước ta có:
27 có chữ số tận cùng là 8
311 có chữ số tận cùng là 7
513 luôn có chữ số tận cùng là 5
717 có chữ số tận cùng là 7
1119 luôn có chữ số tận cùng là 1
Ta có: 27+311+513+717+1119 có chữ số tận cùng là 8
Suy ra 27+311+513+717+1119 chia hết cho 2.
Vậy, đây là hợp số.
b) Ta có :1+2123+23124+25125
2123 có chữ số tận cùng là 1
23124 có chữ số tận cùng là 1 ( các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n là số tự nhiên) thì có chữ số tận cùng là 1. Số đã cho có số mũ là 124 = 4.31)
25125 luôn có chữ số tận cùng là 5
Nên 1+2123+23124+25125 có chữ số tận cùng là 8
suy ra 1+2123+23124+25125 chia hết cho 2.
vậy, đây là hợp số.
>>Xem thêm: Quy tắc dấu ngoặc bài tập kiến thức cơ bản.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu ba số a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6
Hướng dẫn giải:
Do a, a + k, a + 2k đều là nguyên tố lớn hơn 3 nên đều là số lẻ và không chia hết cho 3.
• Vì a và a + k cùng lẻ nên a + k – a = k ⋮ 2. (1)
• Vì a, a + k, a + 2k đều không chia hết cho 3 nên khi chia cho 3 ít nhất hai số có cùng số dư, khi đó:
+ Nếu a và a + k có cùng số dư, thì suy ra: (a+k) – a = k ⋮ 3
+ Nếu a + k và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra: (a+2k )- (a+k)= k ⋮ 3
+ Nếu a và a + 2k có cùng số dư, thì suy ra:
( a + 2k ) – a = 2k 3 nhưng (2,3) = 1 nên k 3
Vậy, ta luôn có k chia hết cho 3 (2)
Từ (1),(2) và do (2,3)=1 ta suy ra k ⋮ 6, đpcm.
Nhận xét: Trong lời giải trên, ta đã định hướng được rằng để chứng minh k ⋮ 6 thì cần chứng minh k ⋮ 2 và k ⋮ 3 và ở đó:
• Việc chứng minh k ⋮ 2 được đánh giá thông qua nhận định a, a + k,a + 2k đều là nguyên tố lẻ hơn kém nhau k đơn vị.
• Việc chứng minh k ⋮ 3 được đánh giá thông qua nhận định “ba số lẻ không chia hết cho 3 thì có ít nhất hai số có cùng số dư” và như vậy hiệu của hai số đó sẽ chia hết cho 3.
Ví dụ 3: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố đó là số chẵn hay lẻ?
Hướng dẫn giải:
Ta thấy trong 25 số nguyên tố có 1 số chẵn còn lại là 24 số lẻ. Tổng của 24 số lẻ là một số chẵn nên tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 là số chẵn.
Ví dụ 4: Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.
Hướng dẫn giải:
Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2
Chúc các bạn thành công!
