Quy tắc cộng, quy tắc nhân: Lý thuyết và bài tập vận dụng

Quy tắc cộng, quy tắc nhân (còn gọi là quy tắc đếm) là lý thuyết cơ bản để giúp các em hiểu về các phép tính. Nhờ đó, các em có thể vận dụng tốt để làm các bài tập tính toán trong chương trình giáo dục. Hãy cùng tìm hiểu về các quy tắc cộng và quy tắc nhân trong nội dung bài viết dưới đây của Gia sư điểm 10 nhé.

Quy tắc cộng

Quy tắc cộng được phát biểu như sau:

Nếu một công việc có thể thực hiện theo n phương án khác nhau, trong đó:

• Phương án thứ 1 có m₁ cách thực hiện
• Phương án thứ 2 có m₂ cách thực hiện
• ………..
• Phương án thứ n có m_n cách thực hiện

Khi đó, ta có: m₁ + m₂ + … + m_n cách để hoàn thành công việc đã cho.

Ví dụ: Bạn Hoàng muốn tìm các cửa hàng để mua xe đạp chuẩn bị cho năm học mới. Trong khu phố 1 có 3 cửa hàng, khu phố 2 có 4 cửa hàng, khu phố 3 có 2 cửa hàng. Vậy bạn Hoàng có thể tìm mua xe đạp ở bao nhiêu cửa hàng trong 3 khu phố trên.

Lời giải: Số cửa hàng mà bạn Hoàng có thể tìm mua xe đạp trong 3 khu phố là:

3 + 4 + 2 = 9 cửa hàng.

Quy tắc nhân

Quy tắc nhân được phát biểu như sau:

Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua n giai đoạn liên tiếp, trong đó:

• Giai đoạn thứ 1 có m₁ cách thực hiện
• Giai đoạn thứ 2 có m₂ cách thực hiện
• ………..
• Giai đoạn thứ n có m_n cách thực hiện

Khi đó, ta có: m₁.m₂ …m_n cách để hoàn thành công việc đã cho.

Ví dụ: Cho các số 1, 2, 3, 4. Có thể tạo ra bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

Gọi số có 4 chữ số cần tạo là abcd

a có 4 sự lựa chọn

b có 3 sự lựa chọn

c có 2 sự lựa chọn

d có 1 sự lựa chọn

Vậy số lượng số tự nhiên có thể tạo ra là: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 số

Nhận xét về quy tắc nhân và quy tắc cộng

Từ các phát biểu của quy tắc cộng và quy tắc nhân trên, ta có một số nhận xét như sau:

• Nếu bỏ qua 1 giai đoạn nào đó mà công việc vẫn được hoàn thành (có kết quả) thì lúc đó ta sử dụng quy tắc cộng.
• Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà công việc không thể hoàn thành (không có kết quả) thì lúc đó ta cần phải sử dụng quy tắc nhân.

Như vậy, qua những nhận xét trên đã cho thấy sự khác biệt của 2 quy tắc và không thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được.

Để các em hiểu rõ hơn về quy tắc cộng, quy tắc nhân thì chúng ta sẽ tham khảo các bài tập vận dụng dưới đây.

Bài tập vận dụng về quy tắc cộng, quy tắc nhân

Bài 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong thỏa mãn các yêu cầu sau:

1. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.

2. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau.

Lời giải:

1. Gọi số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là abcd, ta có:

Chữ số d có 3 cách chọn, 

Chọn chữ số a có 5 cách chọn, 

Chọn chữ số b có 6 cách chọn, 

Chọn chữ số c có 6 cách chọn

Theo quy tắc nhân, ta có số tự nhiên chẵn có 4 chữ số thỏa là: 3 x 5 x 6 x 6 = 540 (số)

2. Gọi số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là abcd

Nếu d = 0 thì:

• Chữ số d có 1 cách chọn
• Chữ số a có 5 cách chọn
• Chọn chữ số b có 4 cách chọn
• Chọn chữ số c có 3 cách chọn

Theo quy tắc nhân, ta có: 1.5.4.3 = 60 (số)  

Nếu d ≠ 0

Chữ cố d có 2 cách chọn

Chữ số a có 4 cách chọn

Chữ số b có 4 cách chọn

Chữ số c có 3 cách chọn

Theo quy tắc nhân, ta có: 2.4.4.3 = 96 (số)  

Áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, ta có số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

60 + 96 = 156 số

Bài 2: Bạn Ngọc có 5 bông hoa hồng, 4 bông hoa cúc và 3 bông hoa lan. Bạn Ngọc cần chọn ra 4 bông để cắm vào một lọ hoa. Hỏi bạn Ngọc có bao nhiêu cách chọn hoa để cắm sao cho hoa trong lọ phải có đủ cả 3 loại.

Lời giải:

Các trường hợp xảy ra như sau:

Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan.

• Có 5 cách chọn bông hồng thứ nhất
• Có 4 cách chọn bông hồng thứ hai
• Có 4 cách chọn bông cúc
• Có 3 cách chọn bông lan

Theo quy tắc nhân, ta có số cách chọn hoa là: 5.4.4.3 = 240 cách

Trường hợp 2: Chọn 1 bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan.

• Có 5 cách chọn bông hồng
• Có 4 cách chọn bông cúc thứ nhất
• Có 3 cách chọn bông cúc thứ hai
• Có 3 cách chọn bông lan

Theo quy tắc nhân, ta có số cách chọn hoa là: 5.4.3.3 = 180 cách

Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan.

• Có 5 cách chọn bông hồng
• Có 4 cách chọn bông cúc
• Có 3 cách chọn bông lan thứ nhất
• Có 2 cách chọn bông lan thứ hai

Theo quy tắc nhân, ta có số cách chọn hoa là: 5.4.3.2 = 120 cách

Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách để bạn Ngọc chọn hoa để cắm vào lọ là:

240 + 180 + 120 = 540 cách

Bài 3: Cho các chữ số  0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9. Lập một số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số trên.

1. Có bao nhiêu số chẵn

2. Có bao nhiêu số có mặt chữ số 1

Lời giải:

1. Gọi số đã cho có dạng a₁a₂a₃a₄

Tìm số các số dạng trên kể cả 

a₁ = 0

a₄ có 3 cách chọn, các vị trí còn lại có A³₇ = 210 cách chọn nên số các số nầy là 630 số 

Tìm số các số dạng trên mà a₁ = 0

a₄ có 2 cách chọn, các vị trí còn lại có A²₆ = 30 cách chọn nên số các số nầy là 60 số 

Vậy số các số chẵn thỏa mãn đề bài là: 630 – 60 = 570 số

2. Gọi số đã cho có dạng a₁a₂a₃a₄

Tìm số các số dạng trên kể cả a₁ = 0

Chọn vị trí cho chữ số 1: có 4 cách, các vị trí còn lại có A³₇ = 210 cách chọn nên số các số nầy là 840 số

Tìm số các số dạng trên mà a₁ = 0

a₁ có 3 cách chọn, các vị trí còn lại có A²₆ = 30 cách chọn nên số các số này là 90 số

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu đầu bài là: 840 – 90 = 750 số (quy tắc cộng)

Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau theo các trường hợp sau:

1. Ghế sắp thành hàng ngang

2. Ghế sắp quanh một bàn tròn.

Lời giải:

1. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. 

Mỗi bạn nam được coi như 1 vách ngăn tạo thành 7 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 7 vị trí có 

A⁴₇ cách. 

Vậy có 6! x A⁴₇ cách sắp xếp.

2. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. 

Mỗi bạn nam là một vách ngăn thì sẽ tạo thành 6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí thì ta có A⁴₆ cách.

Vậy có 5! x A⁴₆ cách sắp xếp.

Bài 5: Một tổ học sinh có 8 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách để thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam?

Lời giải:

Gọi a là số cách chọn 3 học sinh trong 12 học sinh.

Gọi b là số cách chọn 3 học sinh đều là nữ.

Gọi c là số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có: 

• a = C³₁₂
• b = C³₄

c = a – b = 216

Vậy có 216 cách chọn tổ trực nhật có ít nhất 1 học sinh nam.

Trên đây là lý thuyết và bài tập vận dụng về quy tắc cộng, quy tắc nhân. Hy vọng, qua bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về những kiến thức này và áp dụng hiệu quả trong quá trình học tập.