Số chính phương là gì? Tính chất và bài tập vận dụng

Số chính phương là khái niệm được nhắc đến khá nhiều trong toán học từ bậc trung học cơ sở. Nội dung bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ về khái niệm số chính phương, các tính chất và bài tập vận dụng.

Số chính phương là gì?

Theo wikipedia, số chính phương là các số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên. Hiểu theo một cách khác, số chính phương bằng bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số nguyên.

Ví dụ: 

• 4 là số chính phương vì 4 = 2²
• 9 là số chính phương vì 9 = 3²

Số chính phương cũng có số chẵn và số lẻ, cụ thể là:

• Số chính phương chẵn khi nó là bình phương của một số chẵn. Ví dụ: 4, 16, 36
• Số chính phương lẻ khi nó là bình phương của một số lẻ. Ví dụ: 9, 25, 49

Số chính phương nhỏ nhất là 0.

Các số chính phương lớn nhất:

• Số chính phương lớn nhất có 1 chữ số: 9
• Số chính phương lớn nhất có 2 chữ số: 81
• Số chính phương lớn nhất có 3 chữ số: 312
• Số chính phương lớn nhất có 4 chữ số: 9801
• Số chính phương lớn nhất có 5 chữ số: 99856

Đặc điểm của số chính phương

Số chính phương có một số đặc điểm sau:

• Không có số chính phương nào có tận cùng là 2, 3, 7, 8. Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9.
• Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.
• Số chính phương chia cho 3 luôn có số dư là 0 hoặc 1; chia cho 4 luôn dư 0 hoặc 1; số chính phương khi chia 8 luôn dư 0 hoặc 1 hoặc 4; số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.
• Công thức hiệu của hai số chính phương: a2 – b2 = (a-b)(a+b).
• Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2.
• Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.
• Các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1: 1; 1 + 3; 1 + 3 + 5; 1 + 3 + 5 + 7; 1 + 3 + 5 + 7 + 9;…v.v

Các tính chất chia hết của số chính phương

Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì cũng sẽ chia hết cho p2, và ngược lại.

Cụ thể là:

• Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 = 2².
• Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 = 3²
• Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 = 5²
• Số chính phương chia hết cho 8 (2³) thì cũng chia hết cho 2⁴ = 16
• Số chính phương 36 (6²) chia hết cho 2 => 36 chia hết cho 4 (2²)
• Số chính phương 144 (12²) chia hết cho 3 (144:3 = 48) => 144 chia hết cho 9 (144:9 = 16)

Các bài tập về số chính phương

Bài 1: Số chính phương gồm cả 4 chữ số 0, 2, 3, 5 là số nào?

Bài giải: 

Gọi số chính phương cần tìm là abcd.

abcd là số chính phương phải có tận cùng bằng 0 hoặc 5, kết hợp với tính chất bất cứ số nào có 0 đứng cuối bình phương nên đều dư 1 số 0, nên ta biểu diễn số cần tìm dưới dạng : abc5.

Ta có 6 cách thay thế 0, 2, 3 vào abc: 0235, 0325, 2305, 2035, 3025, 3205.

Vậy số cần tìm là 3025, vì 3025 = 55^2.

Vậy số chính phương gồm bốn chữ số 0, 2, 3, 5 là 3025.

Bài 2: Chứng minh số n = 2004^2 + 2003^2 + 2002^2 – 2001^2 không phải là số chính phương.

Bài giải:

Các số 2004^2, 2003^2, 2002^2, 2001^2 có số tận cùng lần lượt là 6,9,4,1. Do đó số n có chữ số tận cùng là 6 + 9 + 4 -1 = 8 nên n không phải là số chính phương. Vì không có số chính phương nào có tận cùng là 8.

Bài 3: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài giải:

1234567890 có tận cùng là 0 nên chia hết cho 5, nhưng hai chữ số tận cùng là 90 lại không chia hết cho 25. Vì vậy, số 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài 4: Chứng minh: Với mọi số tự nhiên n thì A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là số chính phương.

Bài giải:

A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1

= n.(n+3).(n+1).(n+2) + 1

= (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1

Khi đó đặt x = n² + 3n với x € số tự nhiên.

Khi đó: A = x( x +2) + 1 = x² + 2x + 1 = (x+1)² = (n² + 3n + 1)²

Vì n là số tự nhiên nên n² + 3n + 1 cũng thuộc số tự nhiên.

⇒ A = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 là một số chính phương.

Bài 5: Cho dãy số sau, số nào là số chính phương 9, 81, 790, 400, 121, 380, 2500, 441, 560.

Bài giải:

Trong dãy số trên các số là số chính phương là: 9 = 3²; 81 = 9²; 121 = 11²; 2500 = 25²; 400 = 20²; 441 = 21²

Bài 6: Tìm số tự nhiên x sao cho số dưới đây là số chính phương: A = x²+ 2x + 12.

A = x²+ 2x + 12

Vì A là số chính phương nên:

x²+ 2x + 12 = n²

⇔ (x²+ 2x + 1) + 11 = n²

⇔ n² – (x + 1)² = 11

⇔ (n + x + 1).(n – x – 1) = 11

Nhận thấy (n + x + 1) > (n – x – 1) và đều là các số nguyên dương nên có thể viết như sau:

(n + x + 1).(n – x – 1) = 11.1

Giải hệ phương trình:

n + x + 1 = 11

n – x – 1 = 1

Ta được n = 6, x = 4

Vậy số tự nhiên cần tìm là 4.

Trên đây là khái niệm về số chính phương cùng đặc điểm, tính chất và các bài tập vận dụng. Mong rằng, qua bài viết sẽ giúp các em nắm vững hơn kiến thức về chủ đề số chính phương và áp dụng hiệu quả để giải các bài tập liên quan.