Tổng hợp công thứ và bài tập giải bất phương trình lơp 10

Các em học sinh đã học chương bất đẳng thức và bất phương trình ở đầu chương trình đại số học kì II lớp 10. Tuy nhiên, nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải bất phương trình vì ngoài bất phương trình bậc nhất và bất phương trình bậc hai còn có nhiều bất phương trình chứa có chứa căn thức và trị tuyệt đối. Do đó, giasudiem10 đã tổng hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10, các em có thể vận dụng để giải các bất phương trình từ dễ đến khó.

1. Khái niệm bất phương trình

Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề ( hay gọi là biểu thức) có chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng:

Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) thì được gọi là tập xác định của bất phương trình.

2. Giải bất phương trình bậc nhất

2.1 Cách giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b < 0

* Trường hợp a # 0: 

Ta có thể sử dụng bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất

Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất

Như vậy:

– Nếu a > 0, tập nghiệm là: 

Cách giải bất phương trình lớp 10 hay nhất

– Nếu a < 0, tập nghiệm là: 

Cách giải bất phương trình lớp 10 hay nhất (ảnh 2)

* Trường hợp a = 0

Điều kiện của a và b sẽ ảnh hưởng đến kết quả của nghiệm cuối cùng thu được.

Bảng xét dấu bất phương trình bậc nhất

Theo như bảng trên, mô tả bằng lời:

– Nếu b > 0, Phương trình vô số nghiệm.

– Nếu b < 0, Phương trình vô nghiệm.

2.2 Giải bất phương trình tích

Trong đó, cả P(x) và Q(x) đều là những nhị thức bậc nhất.

2.3 Giải bất phương trình có ẩn ở mẫu

Trong đó, P(x) và Q(x) là những nhị thức bậc nhất.

Cách giải: Các em hãy lập bảng xét dấu của của P(x)/Q(x). Rồi sau đó suy ra được tập nghiệm của bất phương trình. Để đảm bảo tính chính xác của phép chia, các em không nên quy đồng và khử mẫu.

2.4 Giải bất phương trình có chứa tham số

Giải bất phương trình chứa tham số (m+a)x + b > 0 tức là xem xét rằng với các giá trị nào của tham số thì bất phương trình sẽ vô nghiệm hoặc có nghiệm và tìm ra các nghiệm đó.

Cách giải: Tùy theo yêu cầu đề, lập bảng xét dấu, biện luận tìm tham số m phù hợp và tìm nghiệm (nếu có). 

3. Cách giải bất phương trình bậc 2 một ẩn

Là BPT dạng: a.x2 + b.x + c > 0 với a # 0

Đặt Δ = b2 − 4.a.c. Ta có các trường hợp sau:

  • Nếu Δ < 0:

– a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: ∅.

– a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: R.

  • Nếu Δ = 0:

– a < 0 thì BPT không nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: ∅.

– a > 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi giá trị thực của x. Tập nghiệm là: 

Cách giải bất phương trình lớp 10 hay nhất (ảnh 3)
  • Nếu Δ > 0, gọi x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình bậc hai a.x2 + b.x + c = 0 với
Cách giải bất phương trình lớp 10 hay nhất (ảnh 4)

Khi đó: 

– Nếu a > 0 thì tập nghiệm là: (−∞;x1)∪(x2;+∞)

– Nếu a < 0 thì tập nghiệm là: (x1; x2)

Có thể lập bảng xét dấu cho dễ hình dung như sau: 

Bảng xét dấu

Bảng xét dấu của tam thức bậc 2

Nhận xét: 

4. Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ta áp dụng định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối của bất phương trình:

Dạng 1:

dạng 1

Dạng 2:

dạng 2

5. Giải bất phương trình chứa căn thức

Để có thể khử căn thức và giải được dạng bài tập này, các em cần kết hợp phép nâng lũy thừa hoặc có thể đặt ẩn phụ. 

Bất phương trình chứa căn thức

6. Bài tập về bất phương trình

Bài 1/ BPT bậc nhất

1.1. Giải các bất phương trình sau:

bat-phuong-trinh

1.2. Giải các bất phương trình sau:

bat-phuong-trinh

1.3. Giải các bất phương trình sau:

bat-phuong-trinh

Bài 2/ BPT qui về bậc nhất

Giải các bất phương trình sau:

bat-phuong-trinh

Bài 3/ BPT  bậc hai

bat-phuong-trinh

Bài 4/ BPT  qui về bậc hai có chứa dấu GTTĐ

Giải các bất phương trình sau:

bat-phuong-trinh

Bài 5/ BPT qui về bậc hai có chứa căn thức

   Giải các phương trình sau:

bat-phuong-trinh

7. Bài tập bất phương trình có lời giải

7.1 Bài tập có lời giải bất phương trình bậc nhất

Bài 1:

Giải bất phương trình – 4x – 8 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Gợi ý giải

-4x – 8 < 0 ⇔ -4x < 8

⇔ -4x : (- 4) > 8: (- 4) ⇔ x > -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -4x – 8 < 0 là {x|x > -2}

Biểu diễn trên trục số

Để học tốt Toán 8 | Giải toán lớp 8

Bài 2: Giải bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2.

Gợi ý giải

-0,2x – 0,2 > 0,4x – 2

⇔ 0,4x – 2 < -0,2x – 0,2

⇔ 0,4x + 0,2x < -0,2 + 2

⇔ 0,6x < 1,8

⇔ 0,6x : 0,6 < 1,8: 0,6

⇔ x < 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2 là {x|x < 3}

Bài 3: Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế):

a) x – 5 > 3

b) x – 2x < -2x + 4

c) -3x > -4x + 2

d) 8x + 2 < 7x – 1

Gợi ý giải:

(Áp dụng quy tắc: chuyển vế – đổi dấu)

a) x – 5 > 3

⇔ x > 3 + 5 (chuyển -5 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành 5)

⇔ x > 8.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 8.

b) x – 2x < -2x + 4

⇔ x – 2x + 2x < 4

⇔ x < 4

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 4.

c) -3x > -4x + 2

⇔ -3x + 4x > 2

⇔ x > 2

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 2.

d) 8x + 2 < 7x – 1

⇔ 8x – 7x < -1 – 2

⇔ x < -3

Vậy nghiệm của bất phương trình là x < -3.

7.2 Bài tập có lời giải bất phương trình bậc 2

Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai:

a) 5×2 – 3x + 1

b) -2×2 + 3x + 5

c) x2 + 12x + 36

d) (2x – 3)(x + 5)

Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 5×2 – 3x + 1

– Xét tam thức f(x) = 5×2 – 3x + 1

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a.

– Mà a = 5 > 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R.

b) -2×2 + 3x + 5

– Xét tam thức f(x) = –2×2 + 3x + 5

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 9 + 40 = 49 > 0.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0

– Ta có bảng xét dấu:

f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞)

c) x2 + 12x + 36

– Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 144 – 144 = 0.

– Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 với ∀x ≠ –6

 f(x) = 0 khi x = –6

d) (2x – 3)(x + 5)

– Xét tam thức f(x) = 2×2 + 7x – 15

– Ta có: Δ = b2 – 4ac = 49 + 120 = 169 > 0.

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0.

– Ta có bảng xét dấu:

– Từ bảng xét dấu ta có:

 f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞)

 f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2

 f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2)

Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau

a) 4×2 – x + 1 < 0

b) -3×2 + x + 4 ≥ 0

d) x2 – x – 6 ≤ 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) 4×2 – x + 1 < 0

– Xét tam thức f(x) = 4×2 – x + 1

– Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R

⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b) -3×2 + x + 4 ≥ 0

– Xét tam thức f(x) = -3×2 + x + 4

– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.

⇒  f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a)

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]

– Điều kiện xác định: x2 – 4 ≠ 0 và 3×2 + x – 4 ≠ 0

 ⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3.

– Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được:

– Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

– Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

– Tam thức 3×2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

⇒ 3×2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu – khi -4/3 < x < 1.

– Ta có bảng xét dấu như sau:

– Từ bảng xét dấu ta có:

 (*) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2)

d) x2 – x – 6 ≤ 0

– Xét tam thức f(x) = x2 – x – 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0

⇒ f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3].

Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0

° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10):

a) (m – 2)x2 + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0 (*)

• Nếu m – 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) trở thành:

 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (*) có một nghiệm

⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

 Δ’ = b’2 – ac = (2m – 3)2 – (m – 2)(5m – 6)

 = 4m2 – 12m + 9 – 5m2 + 6m + 10m – 12

 = -m2 + 4m – 3 = (-m + 3)(m – 1)

– Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (-m + 3)(m – 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

– Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (*)

• Nếu 3 – m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6

⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

• Nếu 3 – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

 Δ’ = b’ – ac = (m + 3)2 – (3 – m)(m + 2)

 = m2 + 6m + 9 – 3m – 6 + m2 + 2m

 = 2m2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3)

– Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ’ < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

– Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.

Bài viết liên quan